圓周率(Pi)是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值,一般用希臘字母π(讀作pài)表示,是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。π也等于圓形之面積與半徑平方之比,是精確計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。它是一個(gè)無(wú)理數(shù),即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。
1965年,英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯(John Wallis)出版了一本數(shù)學(xué)專著,其中他推導(dǎo)出一個(gè)公式,發(fā)現(xiàn)圓周率等于無(wú)窮個(gè)分?jǐn)?shù)相乘的積。2015年,羅切斯特大學(xué)的科學(xué)家們?cè)跉湓幽芗?jí)的量子力學(xué)計(jì)算中發(fā)現(xiàn)了圓周率相同的公式。
2019年3月14日,谷歌宣布圓周率現(xiàn)已到小數(shù)點(diǎn)后31.4萬(wàn)億位。
【小數(shù)點(diǎn)后第】 1-100 101-200 201-300 301-400 401-500 501-600 601-700 701-800 801-900 901-1000 1001-1100 1101-1200 1201-1300 【位】
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實(shí)驗(yàn)時(shí)期-- 一塊古巴比倫石匾(約產(chǎn)于公元前1900年至公元前1600年)清楚地記載了圓周率=25/8=3.125。 同一時(shí)期的古埃及文物,萊因德數(shù)學(xué)紙草書(shū)(Rhind Mathematical Papyrus)也表明圓周率等于分?jǐn)?shù)16/9的平方,約等于3.1605。 埃及人似乎在更早的時(shí)候就知道圓周率了。英國(guó)作家John Taylor(1781—1864)在其名著《金字塔》(《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》)中指出,造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圓周率有關(guān)。例如,金字塔的周長(zhǎng)和高度之比等于圓周率的兩倍,正好等于圓的周長(zhǎng)和半徑之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵書(shū)》(Satapatha Brahmana)顯示了圓周率等于分?jǐn)?shù)339/108,約等于3.139。
幾何法時(shí)期-- 古希臘作為古代幾何王國(guó)對(duì)圓周率的貢獻(xiàn)尤為突出。古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287年—公元前212年)開(kāi)創(chuàng)了人類歷史上通過(guò)理論計(jì)算圓周率近似值的先河。阿基米德從單位圓出發(fā),先用內(nèi)接正六邊形求出圓周率的下界為3,再用外接正六邊形并借助勾股定理求出圓周率的上界小于4。接著,他對(duì)內(nèi)接正六邊形和外接正六邊形的邊數(shù)分別加倍,將它們分別變成內(nèi)接正12邊形和外接正12邊形,再借助勾股定理改進(jìn)圓周率的下界和上界。他逐步對(duì)內(nèi)接正多邊形和外接正多邊形的邊數(shù)加倍,直到內(nèi)接正96邊形和外接正96邊形為止。最后,他求出圓周率的下界和上界分別為223/71和22/7,并取它們的平均值3.141851為圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近的概念,稱得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。
中國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》(約公元前2世紀(jì))的中有“徑一而周三”的記載,意即取 。 漢朝時(shí),張衡得出 ,即 (約為3.162)。這個(gè)值不太準(zhǔn)確,但它簡(jiǎn)單易理解。
公元263年,中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率,他先從圓內(nèi)接正六邊形,逐次分割一直算到圓內(nèi)接正192邊形。他說(shuō):“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣。”這包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值,劉徽在得圓周率=3.14之后,將這個(gè)數(shù)值和晉武庫(kù)中漢王莽時(shí)代制造的銅制體積度量衡標(biāo)準(zhǔn)嘉量斛的直徑和容積檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)3.14這個(gè)數(shù)值還是偏小。于是繼續(xù)割圓到1536邊形,求出3072邊形的面積,得到令自己滿意的圓周率3.1416。
公元480年左右,南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果,給出不足近似值3.1415926和過(guò)剩近似值3.1415927,還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值,密率 和約率 。密率是個(gè)很好的分?jǐn)?shù)近似值,要取到 才能得出比 略準(zhǔn)確的近似。
在之后的800年里祖沖之計(jì)算出的π值都是最準(zhǔn)確的。其中的密率在西方直到1573年才由德國(guó)人奧托(Valentinus Otho)得到,1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯(Metius)的著作中,歐洲稱之為Metius' number。
約在公元530年,印度數(shù)學(xué)大師阿耶波多算出圓周率約為 。婆羅摩笈多采用另一套方法,推論出圓周率等于10的算術(shù)平方根。
阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西在15世紀(jì)初求得圓周率17位精確小數(shù)值,打破祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉し丁た埔羵悾↙udolph van Ceulen)于1596年將π值算到20位小數(shù)值,后投入畢生精力,于1610年算到小數(shù)后35位數(shù),該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。
分析法時(shí)期-- 這一時(shí)期人們開(kāi)始利用無(wú)窮級(jí)數(shù)或無(wú)窮連乘積求π,擺脫可割圓術(shù)的繁復(fù)計(jì)算。無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種π值表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得π值計(jì)算精度迅速增加。 第一個(gè)快速算法由英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽(John Machin)提出,1706年梅欽計(jì)算π值突破100位小數(shù)大關(guān),他利用了如下公式: 其中arctanx可由泰勒級(jí)數(shù)算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。
斯洛文尼亞數(shù)學(xué)家Jurij Vega于1789年得出π的小數(shù)點(diǎn)后首140位,其中只有137位是正確的。這個(gè)世界紀(jì)錄維持了50年。他利用了梅欽于1706年提出的數(shù)式。
到1948年英國(guó)的弗格森(D. F. Ferguson)和美國(guó)的倫奇共同發(fā)表了π的808位小數(shù)值,成為人工計(jì)算圓周率值的最高紀(jì)錄。
計(jì)算機(jī)時(shí)代-- 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使π值計(jì)算有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。1946年,美國(guó)制造的世上首部電腦——ENIAC(ElectronicNumerical Integrator And Computer)在阿伯丁試驗(yàn)場(chǎng)啟用了。次年,里特韋斯納、馮紐曼和梅卓普利斯利用這部電腦,計(jì)算出π的2037個(gè)小數(shù)位。這部電腦只用了70小時(shí)就完成了這項(xiàng)工作,扣除插入打孔卡所花的時(shí)間,等于平均兩分鐘算出一位數(shù)。五年后,IBM NORC(海軍兵器研究計(jì)算機(jī))只用了13分鐘,就算出π的3089個(gè)小數(shù)位?萍疾粩噙M(jìn)步,電腦的運(yùn)算速度也越來(lái)越快,在20世紀(jì)60年代至70年代,隨著美、英、法的電腦科學(xué)家不斷地進(jìn)行電腦上的競(jìng)爭(zhēng),π的值也越來(lái)越精確。在1973年,Jean Guilloud和Martin Bouyer以電腦CDC 7600發(fā)現(xiàn)了π的第一百萬(wàn)個(gè)小數(shù)位。
在1976年,新的突破出現(xiàn)了。薩拉明(Eugene Salamin)發(fā)表了一條新的公式,那是一條二次收斂算則,也就是說(shuō)每經(jīng)過(guò)一次計(jì)算,有效數(shù)字就會(huì)倍增。高斯以前也發(fā)現(xiàn)了一條類似的公式,但十分復(fù)雜,在那沒(méi)有電腦的時(shí)代是不可行的。這算法被稱為布倫特-薩拉明(或薩拉明-布倫特)演算法,亦稱高斯-勒讓德演算法。
1989年美國(guó)哥倫比亞大學(xué)研究人員用克雷-2型(Cray-2)和IBM-3090/VF型巨型電子計(jì)算機(jī)計(jì)算出π值小數(shù)點(diǎn)后4.8億位數(shù),后又繼續(xù)算到小數(shù)點(diǎn)后10.1億位數(shù)。2010年1月7日——法國(guó)工程師法布里斯·貝拉將圓周率算到小數(shù)點(diǎn)后27000億位。2010年8月30日——日本計(jì)算機(jī)奇才近藤茂利用家用計(jì)算機(jī)和云計(jì)算相結(jié)合,計(jì)算出圓周率到小數(shù)點(diǎn)后5萬(wàn)億位。
2011年10月16日,日本長(zhǎng)野縣飯?zhí)锸泄韭殕T近藤茂利用家中電腦將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬(wàn)億位,刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬(wàn)億位吉尼斯世界紀(jì)錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計(jì)算機(jī),從10月起開(kāi)始計(jì)算,花費(fèi)約一年時(shí)間刷新了紀(jì)錄。
【國(guó)際圓周率日】 2011年,國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布,將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié),來(lái)源則是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。
國(guó)際圓周率日可以追溯至1988年3月14日,舊金山科學(xué)博物館的物理學(xué)家Larry Shaw,他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀(jì)念碑做3又1/7圈(22/7,π的近似值之一)的圓周運(yùn)動(dòng),并一起吃水果派。之后,舊金山科學(xué)博物館繼承了這個(gè)傳統(tǒng),在每年的這一天都舉辦慶;顒(dòng)。
2009年,美國(guó)眾議院正式通過(guò)一項(xiàng)無(wú)約束力決議,將每年的3月14日設(shè)定為“圓周率日”。決議認(rèn)為,“鑒于數(shù)學(xué)和自然科學(xué)是教育當(dāng)中有趣而不可或缺的一部分,而學(xué)習(xí)有關(guān)π的知識(shí)是一教孩子幾何、吸引他們學(xué)習(xí)自然科學(xué)和數(shù)學(xué)的迷人方式……π約等于3.14,因此3月14日是紀(jì)念圓周率日最合適的日子。”
【圓周率π】
π是第十六個(gè)希臘字母的小寫(xiě)。π這個(gè)符號(hào),亦是希臘語(yǔ)περιφρεια(表示周邊、地域、圓周等意思)的首字母。1706年英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯(William Jones,1675—1749)最先使用“π”來(lái)表示圓周率。1736年,瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉也開(kāi)始用 表示圓周率。從此,π便成了圓周率的代名詞。